Gauss, 1827: Gaussova křivost K je vnitřní veličina. Spočítáš ji z první fundamentální formy — z pouhého měření délek a úhlů uvnitř plochy. Rovina má K = 0, koule K = 1/R². Izometrie křivost zachovává, tedy žádná mapa nemůže být věrná ve všech délkách současně.
Křivost dvourozměrné plochy zemského povrchu — Gaussova K z klasické diferenciální geometrie ploch. Ne zakřivení prostoročasu v obecné teorii relativity. Ty dvě věci se v gaussovské legendě soustavně pletou: exces 15″ je vlastnost povrchu, po kterém geodeti chodí. Exces trojúhelníku ze skutečných světelných paprsků v prostoru je nula do obrovské přesnosti — na to by Gaussův teodolit ani zdaleka nestačil.
Pozorovatel uzavřený v ε-okolí, měřící jen délky a úhly uvnitř, určí K — a tím dokáže neexistenci izometrické rovinné mapy. Žádné fotky z oběžné dráhy, žádná gravimetrie. Tři operační testy, všechny ε-lokální:
Bertrand–Diguet–Puiseux (1848). Kružnice o poloměru 100 km je o 25,8 m kratší než 2πr; při r = 1 km už jen o 26 µm.
Zapni vlevo geodetický trojúhelník — exces se počítá živě přesnou sférickou trigonometrií (l'Huilier), ne rozvojem.
Tři vrcholy v prostoru určují rovinu, takže trojúhelník z jejich tětiv má součet úhlů přesně 180°. Teodolit ale tyhle úhly neměří: urovná se do místní olovnice a měří úhel mezi dvěma svislými rovinami. Tři olovnice nejsou rovnoběžné — jejich rozbíhavost je ta křivost. Urovnání je krok, který převádí měření v okolním prostoru na měření uvnitř plochy: svislice je normála plochy, takže úhel mezi svislými rovinami je úhel mezi geodetikami.
Redukční řetěz: refrakce → výška přístroje a cíle → tížnicová odchylka (olovnice je normála geoidu, ne elipsoidu) → geodetický úhel na elipsoidu. V horách bývá tížnicová odchylka desítky vteřin, tedy klidně víc než hledaný exces. Proto je to těžká geodézie.
„Lokální“ neznamená „malé“. Je to tvrzení o tom, která data stačí — z libovolně malého okolí, při libovolně dobré přesnosti. Signál je 𝒪(K·L²), takže při přesnosti 1″ potřebuješ stranu ≳ 21 km, při 10″ už 67 km. Gauss si signál koupil volbou L ≈ 100 km.
A pozor na legendu: hannoverská triangulace byla běžná geodézie, sférický exces se v ní rutinně počítá a odečítá (Legendreova věta), netestuje. Navíc měří křivost zemského povrchu, ne prostoru.
K ≡ 0 na okolí nedává rovinu. Válec, kužel, tečná rozvinutelná plocha i plochý torus jsou lokálně euklidovské. Přesně proto existují válcové a kuželové projekce: jsou to K = 0 plochy, takže krok „rozvinout do roviny“ je bezeztrátový. Veškerá škoda vzniká v kroku prvním, při promítnutí koule na ten válec.
Opačným směrem: jedno ε-okolí dá K v jednom bodě. Hierarchie nelokálnosti:
Na GRS 80 se K mění o 1,33 % mezi rovníkem a pólem (poměr (1−e²)², e² = 0,0066944) — dvě dostatečně přesná okolí sféru od elipsoidu odliší. Geoid nezachytí žádný hladký nízkořádový tvar.
V každém bodě dá polární rozklad diferenciálu hlavní měřítka h, k. Invariantní objekt je logaritmus tažené metriky s vlastními čísly 2 ln h, 2 ln k. Redukce na dva skaláry:
Celá taxonomie se tím sesype do jednoho obrázku:
Konformní a stejnoplochá jsou rohová řešení — w → ∞ na jedné ose. Roh je oprávněný jen tehdy, když to něco dál po proudu opravdu vyžaduje: kartogramy hustot potřebují a ≡ 0, navigace a čtení lokálních tvarů potřebují s ≡ 0. Jinak je poctivá odpověď vnitřek, ne roh.
Přepni vlevo Zkreslení na Plošné a Střihové — u Lambertovy azimutální je a všude nula, u stereografické je nula s. Žádná nemá nulu obojí.
Zkreslení δ = ln(σmax/σmin) přes poměry geodetických vzdáleností. Pro sférický vrchlík je azimutální ekvidistantní projekce optimální, jednoznačně až na podobnost roviny:
To je podlaha: žádná projekce vrchlíku dané velikosti, existující ani teprve vymyšlená, neuspěje na téhle míře lépe.
Zapni vlevo síť vzdáleností a přepínej projekce. Kružnice jsou geodetické vzdálenosti od středu po 30°; jejich radiální rozestupy jsou přímo σr = dρ/dc. U azimutální ekvidistantní jsou rovnoměrné (to je její definice, ρ = c), u Lambertovy se ke kraji stlačují, u gnómonické se rozletí. Přesně o poměr těchto rozestupů k tangenciálnímu měřítku ρ/sin c Milnorova mez je.
Uvnitř konformní třídy minimalizuje oscilaci ln σ nad oblastí ta projekce, která má σ konstantní na hranici. Čebyšev vyslovil 1856, Grave dokázal.
Ryze ε-lokální pozorovatel určí překážku — K ≠ 0, žádná izometrie, a přes Gauss–Bonnet i dolní odhad celkového zkreslení. Neurčí optimum, protože každý funkcionál zkreslení je integrál přes oblast a oblast je globální údaj. Lokální geometrie ti řekne, že zploštění je nemožné; teprve to, co chceš zploštit, ti řekne, jak nejlépe selhat.
A ten obrácený řetěz má hezký konec: pozorovatel, který trvá na tom, že Země je podmnožina roviny, musí zavést polohově závislou korekci ke každé naměřené délce a úhlu, aby vysvětlil anomální excesy. To korekční pole je metrický tenzor. Nevyhnul se křivosti — objevil ji znovu v souřadnicích. Táž teorie s jiným kloboukem.
Podklad: reliéfní a satelitní vrstva Wolfram GeoGraphics, equirektangulární, 2048×1024 px. Reprojekce běží ve fragment shaderu — pro každý pixel se počítá inverzní projekce do (φ, λ) a čte se textura. Všech jedenáct dvojic forward/inverse je ověřeno round-tripem na strojovou přesnost — a u Equal Earth navíc proti 633 bodům spočítaným nezávisle ve Wolframu, protože round-trip ani test stejnoplochosti překlep v koeficientu nechytí.
Hranice států v textuře nejsou — rasterizované by se při přiblížení rozmazaly spolu s podkladem. Kreslí se z vektoru (Entity["Country", …]["Polygon"], 251 zemí), takže zůstávají ostré v každém měřítku; podklad se rozmaže, čára ne. Táž data odpovídají i na to, nad kterou zemí je kurzor — pixel se převede inverzní projekcí na (φ, λ) a otestuje sudo-lichým pravidlem, takže enklávy jako Vatikán nebo Lesotho vyjdou samy.