Co vidíte. Každý bod roviny z opakovaně dosazujeme do funkce cas: z, cas z, cas(cas z), … Ve světlých barvách jsou body, jejichž posloupnost se ustálí v pevném bodě 1,2587… (tam platí cas x = x); barva udává, kolik kroků to trvá. Tmavé body utíkají do nekonečna, a právě ty tvoří Juliovu množinu: tmavé plochy nejsou okolí fraktálu, ale fraktál sám. U sinu a kosinu má Juliova množina kladný obsah, a proto její fraktální (Hausdorffova) dimenze je přesně 2.
Proč cas. Funkce cas, cosine and sine, je jádro transformace, kterou v roce 1942 navrhl R. V. L. Hartley jako reálnou obdobu Fourierovy: Fourier počítá s e−ix = cos x − i sin x, Hartley s cas x = cos x + sin x. Je to sinus posunutý o osminu otáčky a zvětšený √2krát: cas x = √2 sin(x + π/4).
Ochutnávka: cas bez π. Začněte přímkou h(x) = 1 + x a opakujte h(x) ← h(−x/2)·(h(x/2) − h(−x/2)) + 1, což je vzorec pro dvojnásobný úhel. Po k krocích vyjde polynom, který se od cas x liší jen fázovou chybou zhruba (2/3)x³/4k: každý krok přidá dva bity přesnosti. Je to Eulerova konstrukce z Introductio (1748): pro malý úhel je sin t ≈ t a cos t ≈ 1, zbytek obstará zdvojování. Stejný krok (s, c) ↦ (2sc, 1 − 2s²) počítá s libovolnou přesností i střed tohoto obrázku.
Hluboký zoom. Střed se počítá s libovolnou přesností, každý pixel na grafické kartě jen jako malá odchylka od něj (perturbace). Zoomovat jde prakticky libovolně hluboko; obraz je ověřený proti výpočtu s plnou přesností do zvětšení 10120.
Ovládání. Kolečko nebo S + pohyb myši: zoom. Tažení: posun. C: výchozí pohled. H: technické údaje. Na dotykovém displeji: tažení prstem posouvá, roztažení dvěma prsty zoomuje. Vlevo dole: souřadnice, odkaz na právě zobrazené místo a návrat na výchozí pohled.
Odkazy. R. V. L. Hartley, A More Symmetrical Fourier Analysis Applied to Transmission Problems, Proc. IRE 30 (1942); Hartleyho transformace; L. Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748), kap. VIII; C. T. McMullen, Area and Hausdorff dimension of Julia sets of entire functions, Trans. AMS 300 (1987); Juliova množina; C. Heiland-Allen, Perturbation algebra (2018).
Deep zoom into the Julia set of Hartley's cas z = cos z + sin z, the sine and cosine function of the Hartley transform. Arbitrary-precision reference orbit, perturbation on the GPU.